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By Walter Strampp

Dieser Übungsband zur Grundvorlesung research besteht aus drei Komponenten:

- Ein theoretischer Vorspann vor jedem Kapitel enthält die wichtigsten Sätze und Begriffe als Repetitorium.
- Die Aufgaben reichen in drei Stufen von der Einübung über die Festigung eines Begriffes bis zu anwendungsorientierten Problemstellungen.Sie wurden in Lehrveranstaltungen und Klausuren erprobt. Die angegebenen Lösungen sollten als Vorschläge und Hinweise verstanden werden , die oft ergänzt, optimiert und abgekürzt werden können.
- Der Einsatz von Mathematica und Maple ist als Unterstützung für das interaktive Selbststudium gedacht und soll Anregungen und Vorschläge für eigene Experimente geben. Durch den Umgang am Rechner werden die Begriffe der konkreten Anwendung zugänglich gemacht.

Die Aufgabenstellungen sowie die Mathematica- und Maple-Rechnungen werden ins net gestellt, so daß die Benutzer leicht zu jeder Aufgabe die entsprechenden Computerrechnungen auffinden und ergänzen können. In der Kombination aus Buch und web entsteht somit ein flexibles, modernes Lernmittel zur Wiederholung und Einübung des Stoffs von zentralen Gebieten der Analysis.

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"Wenn auch Studierende der Ingenieurwissenschaften die eigentliche Zielgruppe dieses bewährten Textes sind, kann die Darstellung aber auch für Studierende anderer mathematisch orientierter Studienrichtungen, wie etwa Physik, Physikalische Chemie und Technomathematik mit Gewinn gelesen werden, und ist daher durchaus für diesen weiteren Leserkreis zu empfehlen.

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I. x = 0, E JR. Man bestimme die Grenzwerte der Folgen: ( d)a-~ n - ,Jn2 +Z' (e) an -- n2 +3 n+n n3 (b) sin(n) n 3 +n (c) an = 2'il ' sofern sie existieren. Losung: (a) Aus an = (b) Aus an = 3 + 5 n 8 "ii! 1 5 + n - "ii! folgt lim an = 0 . n-+oo I-Q+:\1 ~ folgt lim an = - . 5 + -2 + -3 n-+oo 5 "z n (c) Die Polge an = oben beschrankt: n nZ 1 2" + "2 ist streng monoton wachsend und nicht nach lim an = n-+oo Mathematica: +00 . n3 +n Limit[--, n -+ 2n 00] 00 Maple: > limit({n'3+n)/(2*n),n=infinity); n 3 +n lim - 2n R n-+oo Losung: (d) Aus an = folgt lim an = 5.

Mit Plots[display] werden mehrere Graphiken zusamrnen ausgegeben. > gl:=plot(sqrt(2*abs(x)-3),x=-5 .. -3/2): > g2:=plot(sqrt(2*abs(x)-3),x=3/2 .. 5 Die Funktion I(x) = J21xl - 3 -4 Losung: (b) bekomrnen: Wiederum ben6tigen wir einen positiven Radikanden und x2 _ 5 x+ 6 = (x _ ~)2 - 4~ >- 0 , 2 d. h. D = {x E JR I x ~ 2, x 2: 3}. 5 4 (c) Hier darf der Nenner nicht verschwinden, d. h. D = {x E IR I x f= I} . x+I .. ir x < 1: I (x) = - un dfur I-x x+I I(x) = - - . jX. ir aile x E IR erkliirt werden: D = IR.

Ungleichungen durch voJlstandige Induktion beweisen 30 1 Reelle Zahlen In einer Nebenreehnung miiBte man sieh streng genommen wieder dureh vollstiindige Induktion von der Giiltigkeit von (n + I)! ~ 2n , n ~ 3, iiberzeugen. Table Mathematica: Die linke und die reehte Seite der Ungleiehung werden in Abhiingigkeit von n definiert. Mit Table wird eine Liste von Zahlen gebildet und mit N ein dezimaler Niiherungswert fiir eine Zahl bereehnet. Mit einer Option kann die Stellenzahl festgelegt werden. N a[n_l := L n k=O 1 ki; s[n-l := 3 .

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